Mar 11

Termodinâmica II - Transformação politrópica / Diagrama T-s

Written by Marcos Cassiano.

Transformação politrópica

Em página anterior foi dado que uma transformação adiabática, isto é, sem troca de calor com o meio externo, é representada pela seguinte equação no plano pv:

p v^χ = constante.

Onde	χ =	c_p		(calor específico com pressão constante sobre calor específico com volume constante).
		c_v

Essa igualdade sugere que uma transformação genérica, usualmente denominada politrópica, deve ter a forma:

Transformação politrópica e casos particulares

Figura 01

p v^a = constante #A.1#.

Onde o expoente a pode ser qualquer real, − ∞ < a < + ∞

Obs: em muitas referências, é comum o uso da letra n. Aqui é empregado apara evitar confusão com o n que indica número de mols.

Então, as transformações anteriormente analisadas são, na realidade, casos particulares da transformação politrópica, de acordo com o expoentea.

Se p v^a = constante, a diferencial é nula d(p v^a) = 0.

Essa expressão pode ser expandida com a propriedade da diferencial de um produto:

d(p v^a) = v^a dp + p a v^a−1 dv = 0.

Dividindo tudo por p v^a,

dv	= −	1		dp		#B.1#.
v		a		p

A Figura 01 mostra as curvas para alguns valores do expoente a e a tabela abaixo é um resumo dos casos particulares já vistos nas páginas anteriores.

Tabela 01
Transformação	Propriedade	Valor de a	Obs
Isobárica	p constante	0	Usar igualdade #A.1# com a = 0
Isocórica	v constante	∞	Usar igualdade #B.1# com a = ∞
Isotérmica	T constante	1	Usar igualdade #A.1# com a = 1
Adiabática	q = 0	χ	Usar igualdade #A.1# com a = χ

Algumas fórmulas para a transformação politrópica podem ser deduzidas de forma análoga às da transformação adiabática, substituindo o expoente χ por a:

v₁	= (	T₂	)	^1/(a−1)		#C.1#.
v₂		T₁

T₁	= (	p₁	)	^(a−1)/a		#C.2#.
T₂		p₂

Omitindo o desenvolvimento matemático, o trabalho é dado por:

w =	n		R	(T₁ − T₂)	#D.1#.
	m		a − 1

E o calor trocado,

q =	χ − a	w	#E.1#.
	χ − 1

Exemplo de problema (fonte: prova PF 2004. Responder Certo ou Errado):

Considere que, em um sistema termodinâmico não-adiabático constituído de gás ideal, os processos sejam regidos pela relação PVⁿ = W, em que P é a pressão e V, o volume, enquanto n e W são, respectivamente, o coeficiente politrópico e uma constante. Nessa situação, as trocas de calor com a vizinhança do sistema são sempre acompanhadas de trabalho de fronteira, caso o coeficiente politrópico não tenda a infinito.

Solução: se o coeficiente tende a infinito, conforme Figura 01 e Tabela 01, o processo é isocórico, não havendo trabalho porque não há variação de volume. Resposta: Certo.

Diagrama T-s

Algumas vezes, o diagrama temperatura x entropia (T-s) se mostra mais adequado para representar a transformação do que o diagrama pressão x volume (pv). A Figura 01 dá os aspectos aproximados das curvas de algumas transformações típicas.

Entre dois pontos genéricos 1 e 2, a variação da entropia pode ser deduzida para cada transformação.

Figura 01

Para transformação isocórica (v constante),

dq = c_v dT.

Segundo a definição de entropia,

ds = dq/T.Integrando, Δs = ∫ dq/T. Portanto,

Δs = ∫	2	c_v	dT	= c_v ln(	T₂	)	#A.1#.
	1		T		T₁

Para transformação isobárica (p constante), q = c_p dT.

Δs = ∫	2	c_p	dT	= c_p ln(	T₂	)	#B.1#.
	1		T		T₁

Portanto, as curvas de v constante e p constante são parecidas, mas com inclinação diferente porque c_v e c_p são diferentes.

No caso de transformação isotérmica (T constante),

q = w = W/m = (n/m) R T ln (p₁/p₂). Desde que T é invariável,

Δs =	q	=	n	R ln (	p₁	)	#C.1#.
	T		m		p₂

Na transformação isentrópica, s constante ou

Δs = 0 #D.1#.

Uma transformação adiabática reversível é também isentrópica (a demonstração, por enquanto, não é aqui informada).

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