Dinâmica III - Equação da continuidade de um fluido

Equação do estado de um gás II

Seja uma massa de gás contida em um cubo de lado L (Figura 01). Adotam-se suposições similares às do tópico Equação do estado de um gás I da página anterior, isto é, o choque das moléculas contra as paredes é perfeitamente elástico e as forças são perpendiculares às superfícies.

Da página Dinâmica III-30, nota-se que a primeira parcela do virial para um sistema de partículas é a soma dos produtos escalares ∑ F_i · r_i. Consideram-se, por exemplo, as paredes 1 e 2, perpendiculares ao eixo X.

Fig 01

Para um ponto A qualquer na parede 1, F_i · r_i é nulo porque os vetores são perpendiculares entre si. Para um ponto B qualquer na parede 2, F_i · r_i é igual a − F_i L, o que pode ser facilmente deduzido pela geometria do caso.

Supondo F a resultante das forças em 2, F = ∑ F_i = p L², onde p é a pressão do gás no espaço considerado.

Portanto, ∑ F_i · r_i = − ∑ (F_i L) = − L ∑ F_i = − p L³ = − p V. Onde V é o volume do cubo. Mas isso é apenas para o par de paredes 1 e 2. Considerando os demais, ∑ F_i · r_i = − 3 p V.

Na página citada, foi dada a equação do virial para um sistema de partículas: 

(E_c)_av = − (1/2) ( ∑_(cada) F_i · r_i + ∑_(pares) F_jk · r_jk)_av.

E, conforme página anterior, a energia cinética média para um sistema de muitas partículas é (1/2) m v²_rms. Substituindo este último (multiplicado pelo número N de moléculas) e o valor anterior de ∑ F_i · r_i,

p V = (1/3) N m v²_rms + (1/3) (∑_(pares) F_jk · r_jk)_av.

E, de maneira similar à do tópico Equação do estado de um gás I da página anterior, introduz-se a relação da energia cinética média com a temperatura termodinâmica T com o uso da constante de Boltzmann k:

(3/2) k T = (1/2) m v²_rms. Portanto, a igualdade anterior fica:

p V = N k T + (1/3) (∑_(pares) F_jk · r_jk)_av #A.1#.

Observar que essa igualdade só difere da encontrada na página anterior pela segunda parcela do lado direito. Se ela é desprezada, o resultado é idêntico:

p V = N k T #B.1#.

Isso significa que a dedução por este método é mais completa: a primeira parcela (N k T) é resultado da interação das moléculas com as paredes do reservatório. A segunda parcela provém das forças intermoleculares, que são nulas num gás ideal. A confirmação prática é evidente, porque, para pressões e temperaturas usuais, os gases reais têm comportamento bastante parecido com gases ideais. As diferenças são significativas para pressões altas ou temperaturas baixas, casos em que as moléculas estão mais próximas entre si e as forças mútuas tornam-se maiores.

Equação da continuidade de um fluido

A conservação da massa é um princípio elementar e evidente. Não pode haver ganho ou perda de massa de forma espontânea. Portanto, a massa de um fluido que circula, em regime estacionário, pelo interior de um duto fechado é conservada.

Seja, conforme Figura 01, um duto de seção circular variável com um fluxo de um fluido qualquer.

Fig 01

Numa posição qualquer, a massa que passa por unidade de tempo é:

dm / dt = μ dV / dt, onde μ é a massa específica e dV o volume infinitesimal.

Mas dV = S dx, onde S é a área da seção transversal. Portanto,

dm / dt = μ S dx / dt.

Mas dx/dt é a velocidade média do fluido através da seção. Assim,

dm / dt = μ S v. 

Se não há ganho nem perda de massa, dm/dt deve ser constante. Então, para as duas seções diferentes da figura,

μ₁ S₁ v₁ = μ₂ S₂ v₂ #A.1#.

Se o fluido é incompressível, a massa específica é constante e a igualdade fica:

S₁ v₁ = S₂ v₂ #B.1#.

Notar que esta última e a anterior valem para qualquer tipo de seção transversal. Para tubos de seção circular,

μ₁ D₁² v₁ = μ₂ D₂² v₂ #C.1#.

E, no caso de fluidos incompressíveis, D₁² v₁ = D₂² v₂ #D.1#.

Na prática, os líquidos são quase sempre tratados como incompressíveis. Em alguns casos, gases podem ser assim considerados se as variações de pressão são pequenas (como em sistemas de ventilação) e se os erros decorrentes forem aceitáveis.

Observar também que o produto S₁ v₁ = S₂ v₂ é a vazão volumétrica do fluido.

Escoamento de um fluido - Equação de Bernoulli

Considera-se, conforme corte da Figura 01 deste tópico, uma porção de espessura dx do escoamento de um fluido através de um duto. Nesse espaço há um determinado número de partículas (moléculas) do fluido, cujo centro de massa CM se desloca com velocidade v_CM. A área da seção transversal é S conforme indicado. As pressões em cada lado são p e p+dp. Supõe-se o duto de seção circular, com o eixo de simetria coincidente com o eixo X de coordenadas.

A resultante das forças que atuam na porção de fluido é dada por: dF_x = p S − (p + dp) S = − dp S. Pode-se multiplicar e dividir por dx: dF_x = − (dp/dx) S dx.

Fig 01

Desde que S dx = dV (volume da porção), pode-se considerar dp/dx a força devido à pressão por unidade de volume, que é simbolizada por f_p.

Outras forças externas podem atuar na porção e, de forma análoga, supõe-se f_eo seu valor por unidade de volume. Assim,

dF_total = (f_p + f_e) S dx = (− dp/dx + f_e) S dx.

O movimento de um sistema de partículas é equivalente ao movimento de sua massa total concentrada no centro de massa com velocidade (e aceleração) do mesmo. Sendo μ a massa específica do fluido, a massa da porção (dm) é μ S dx. E a aceleração é dv_CM/dt. 

Portanto, dF_total = (f_p + f_e) S dx = (− dp/dx + f_e) S dx = dm a_CM = μ S dx dv_CM/dt.

Ou − dp/dx + f_e = μ dv_CM/dt.

Supondo que as forças externas são conservativas, pode-se dizer que f_e = − de_p/dx, onde e_p é a energia potencial por unidade de volume:

− dp/dx − de_p/dx = μ dv_CM/dt. Ou − d( p + e_p) / dx = μ dv_CM / dt.

O regime do escoamento é supostamente estacionário. Isso significa que a velocidade em cada ponto é a mesma. Ou melhor, a velocidade não é necessariamente constante, mas ela só depende das coordenadas do ponto e não do tempo. Nessas condições, pode-se fazer:

dv_CM / dt = (dv_CM / dx) (dx / dt) = v_CM (dv_CM / dx) = d [ (1/2) v_CM² ] / dx.

Substituindo na anterior, μ d [ (1/2) v_CM² ] / dx = − d( p + e_p) / dx. Se o fluido é incompressível, μ = constante. Assim,

d [ (1/2) μ v_CM² ] / dx = − d( p + e_p) / dx. Ou d [ (1/2) μ v_CM² + p + e_p ] / dx = 0. Se a derivada é nula, a expressão é invariável.

(1/2) μ v_CM² + p + e_p = constante.

Se a energia potencial é devido à ação gravitacional, E_p = m g h, onde m é a massa, g é a aceleração da gravidade e h a altura. E a energia potencial por unidade de volume é e_p = m g h / V. Mas m / V = μ (massa específica). Assim, e_p = μ g h. Substituindo na equação anterior e usando simplesmente v no lugar de v_CM,

p + μ g h + μ v² / 2 = constante #A.1#.

Essa é a conhecida equação de Bernoulli para o escoamento de um fluido incompressível ideal. Pode ser entendida como a conservação da energia aplicada ao caso, com as parcelas representando:

p: energia por volume associada à pressão do fluido.
μ g h: energia potencial por unidade de volume.
μ v² / 2: energia cinética por unidade de volume.

Fig 02

A medição de vazão de fluidos é um dos muitos exemplos de aplicação da equação de Bernoulli. Seja, conforme Figura 02, um fluido que escoa por um duto horizontal com um estrangulamento. Desde que não há variação de energia potencial, a parcela μ g h é eliminada e a equação de Bernoulli fica:

p₁ + μ v₁² / 2 = p₂ + μ v₂² / 2. Supostamente, são conhecidas a massa específica μ do fluido, as áreas das seções transversais (S₁ e S₂) e as pressões p₁ e p₂ que são lidas nos manômetros. 

Isso estabelece, portanto, uma relação entre as velocidades v₁ e v₂. E a equação da continuidade, dada no tópico Equação da continuidade de um fluido desta página, permite uma outra relação entre as velocidades: S₁ v₁ = S₂ v₂. Obtém-se então um conjunto de duas equações e duas incógnitas que pode ser facilmente resolvido. Uma vez calculada as velocidades, a vazão volumétrica é dada pelo simples produto S₁ v₁ ou S₂ v₂.

v₂ = v₁ S₁ / S₂. Então p₁ + μ v₁² / 2 = p₂ + μ v₁² S₁² / 2 S₂². Ou p₁ − p₂ = (1/2) μ v₁² [ (S₁/S₂)² − 1 ].

v₁² = 2 (p₁ − p₂) / { μ [ (S₁/S₂)² − 1 ] }. E a vazão volumétrica V é dada por V = S₁ v₁ (ou S₂ v₂).

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