Circuitos elétricos I - Associação de resistores

Associação de resistores

Na Figura 01, uma fonte de tensão v é conectada a três resistores em série. Pode-se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff para o laço único do circuito.

Fig 01

− v + R₁ i + R₂ i + R₃ i = 0.

Reagrupando a igualdade,

( R₁ + R₂ + R₃ ) i = v.

A expressão entre parênteses é a resistência equivalente, que faz o mesmo efeito dessa combinação. 

Generalizando, pode-se dizer que a resistência equivalente de uma combinação de n resistências em série é dada pela soma:

R_eq = R₁ + R₂ + … + R_n #A.1#.

No exemplo da Figura 02, uma fonte de tensão v é conectada a três resistores em paralelo. A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff nos nós a e b permite o resultado:

Fig 02

i = i₁ + i₂ + i₃.

Desde que cada resistor está sob a mesma tensão v, a corrente é a relação entre essa tensão e o valor da sua resistência.

i = v / R₁ + v / R₂ v / R₃. Reagrupando,

v = [ 1 / ( 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ ) ] i. 

O termo entre colchetes é a resistência equivalente dessa associação. Generalizando, a resistência equivalente para uma associação de n resistências em paralelo é dada por:

1 / R_eq = 1 / R₁ + 1 / R₂ + … + 1 / R_n #B.1#.

Para o caso particular de dois resistores em paralelo, a fórmula abaixo pode ser facilmente deduzida:

R_eq = R₁ R₂ / (R₁ + R₂) #B.2#.

Em várias referências, são usadas duas barras verticais para indicar o resultado aritmético da associação em paralelo. Portanto, na fórmula anterior,

R₁ || R₂ = R_eq = R₁ R₂ / (R₁ + R₂) #B.3#.

Fig 03

Associações mistas de resistores podem ser, em vários casos, resolvidas em partes.

No exemplo da Figura 03, as etapas são:

R_fg = R₅ || R₆ (conforme #B.3#).

R_eg = R₄ + R_fg. 

E o resultado final é R_ab = R₁ + (R₃ || R_eg) + R₂.

Divisor de tensão e divisor de corrente

Divisor de tensão é um arranjo simples de resistores em série, bastante utilizado em circuitos eletrônicos, para fornecer tensões contínuas inferiores ao valor da tensão da fonte.

Fig 01

No exemplo da Figura 01, a resistência equivalente entre 0 e 3 é dada por:

R_eq = R₁ + R₂ + R₃.

Portanto, a corrente i é calculada por:

i = v / (R₁ + R₂ + R₃).


Tensão v₁ = i R₁ = v R₁ / (R₁ + R₂ + R₃).

Tensão v₂ = i (R₁ + R₂) = v (R₁ + R₂) / (R₁ + R₂ + R₃).

Tensão v₃ = i (R₁ + R₂ + R₃) = v (R₁ + R₂ + R₃) / (R₁ + R₂ + R₃) = v.

Procedimento similar pode ser feito para qualquer número de resistores. Se o conjunto de resistores em série for substituído por um variável, a saída será ajustável de 0 a v.

Os cálculos acima não consideram a corrente do circuito a alimentar. Assim, os valores reais serão menores que os indicados. Devido à dissipação de energia nos resistores, o arranjo não é adequado para altas potências.

Fig 02

Um divisor de corrente usa uma fonte de corrente e resistores em paralelo conforme exemplo de três resistores da Figura 02 (a).

Conforme visto em tópico anterior, a resistência equivalente dessa associação é

1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃.

Ou, simbolicamente,

R_eq = R₁ || R₂ || R₃. 

A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff permite a fácil dedução da corrente em cada:

i₁ = (R_eq / R₁) i. E de forma similar para as demais. Naturalmente, o cálculo pode ser estendido para qualquer número de resistores.

No caso particular de 2 resistores conforme (b) da Figura 02, a resistência equivalente é R_eq = R₁ R₂ / (R₁ + R₂). Substituindo e simplificando na fórmula anterior,

i₁ = i R₂ / (R₁ + R₂) para a primeira corrente e i₂ = i R₁ / (R₁ + R₂) para a segunda.

Exemplos de associação de resistores

No exemplo da Figura 01, é suposto que a formação do circuito se repete continuamente. Considerando o valor de cada resistor 1 Ω, determinar a resistência equivalente entre os pontos a e b.

Fig 01

Seja R a resistência entre a e b. Se o circuito for cortado em CC', a resistência do restante é também R, uma vez que a formação é repetida até o infinito.

Então, a resistência entre a e b (R) é igual à associação de uma resistência de 1 Ω em série com uma associação paralela de 1 Ω com R. 

R = 1 + (1 || R) = 1 + 1 × R / (1 + R). Reagrupando e simplificando a igualdade,

R² − R − 1 = 0. O resultado é a solução positiva dessa equação do segundo grau, R ≈ 1,618 Ω.

Fig 02

Na Figura 02, resistores de 1 Ω são dispostos em um arranjo espacial, nas arestas de um cubo. Determinar a resistência entre vértices opostos (exemplo: a e g).

Provavelmente, o problema pode ser resolvido com a planificação do circuito e a aplicação das leis de Kirchhoff. Mas a simetria do caso sugere um meio mais simples e imediato.

Seja uma corrente de 6 A aplicada entre os vértices a e g. 

Desde que os resistores têm o mesmo valor, ela é dividida igualmente nas três arestas que partem de cada vértice: i_ab = i_ad = i_ae = i_hg = i_fg = i_cg = 2 A.

Em vértices intermediários (por exemplo, d) a corrente é dividida por dois: i_dc = i_dh = i_ad / 2 = 1 A.

Escolhe-se agora um caminho qualquer entre a e g. Exemplo: ad, dh e hg. E as respectivas correntes já foram deduzidas: i_ad = 2 A, i_dh = 1 A e i_hg = 2 A.

A queda de tensão entre a e g é a soma das quedas de cada parte:

v_ag = v_ad + v_dh + v_hg = 1 × 2 + 1 × 1 + 1 × 2 = 5 V. Desde que i_ag = 6 A conforme premissa,

R_ag = v_ag / i_ag = 5/6 Ω.