Circuitos elétricos I - Leis de Kirchhoff

Leis de Kirchhoff

A primeira lei de Kirchhoff, também conhecida como lei das correntes de Kirchhoff (LCK ou KCL, do inglês), estabelece que a soma algébrica das correntes em qualquer nó é nula:

Fig 01

Σ i_i = 0 #A.1#.

Nó é um ponto de conexão de dois ou mais elementos de circuito. É adotada a convenção:

• positivo: corrente que entra no nó.

• negativo: corrente que sai do nó.


Essa lei tem fundamento no princípio da conservação das cargas, isto é, cargas elétricas não podem aparecer ou desaparecer espontaneamente, de forma similar a partículas de um fluxo material.

No exemplo da Figura 01, i1 + i2 − i3 = 0 ou i1 + i2 = i3 (os retângulos são elementos genéricos). Portanto, uma outra forma de expressão da lei é considerar a soma das correntes que entram no nó igual à soma das correntes que saem do nó.

A segunda lei de Kirchhoff, também denominada lei das tensões de Kirchhoff (LTK ou KVL, do inglês), afirma que a soma algébrica das variações de tensão em qualquer laço é nula.

Fig 02

Σ v_i = 0 #B.1#.

Laço é qualquer caminho fechado do circuito, que passa apenas uma vez por cada nó. Supõe-se que o laço é percorrido em sentido horário, com a seguinte convenção de sinais:

• positivo: queda de tensão.

• negativo: aumento de tensão. 

Desde que tensão (ou potencial) elétrico é dado pela relação entre trabalho e carga elétrica, deduz-se que essa lei é basicamente o princípio da conservação da energia. Se a carga percorre um caminho fechado, o estado inicial é igual ao final e, assim, a variação líquida de energia deve ser nula.

No exemplo da Figura 03, as igualdades para os três laços (A, B e C) são:

Laço A: v_R1 + v_R2 − v_S3 + v_R3 − v_S1 = 0.

Laço B: v_R1 + v_S2 − v_S1 = 0.

Laço C: v_R2 − v_S3 + v_R3 − v_S2 = 0.

De forma similar à anterior, pode-se expressar a lei como a igualdade entre a soma das quedas de tensão e a soma dos aumentos de tensão.

Os elementos passivos (resistores) apresentam quedas de tensão neste caso, de acordo com a convenção já vista para eles (a corrente entra no lado de maior potencial).

Notar que, no laço B, o sinal da tensão em S₂ é positivo porque a seta da fonte de corrente indica o lado de maior potencial. Assim, há uma queda de tensão para o sentido convencional do laço.

Observar também que devem ser previstas correntes diferentes para cada trecho de laço entre dois nós consecutivos. Se o resultado para uma corrente for negativo, o seu sentido será oposto ao previsto. Exemplos de cálculo no próximo tópico.

Leis de Kirchhoff - Exemplos numéricos

No circuito conforme Figura 01 (a) são dados os valores para todos os elementos, com exceção da fonte de corrente S₂. Mas é dada a queda de tensão em R₄ (24 V).

Fig 01

Determinar o valor de S₂, bem como a potência fornecida por cada fonte.

Em (b) da mesma figura, são considerados os laços A e B e as correntes indicadas.

Da relação básica v = R i, tem-se i₃ = 24 / R₄ = 24 / 8 = 3 A.

Usando-se a LTK para o laço B,

R₃ i₃ + R₄ i₃ − v_S2 = 0.

7 × 3 + 8 × 3 − v_S2 = 0. Portanto, v_S2 = 45 V.

Do circuito, v_R2 = v_S2 = 45 V. Também pode ser calculado: i₂ = v_R2 / R₂ = 45 / 9 = 5 A. 

Considerando-se agora a LTK para o laço A, − v_S1 + R₁ i₁ + v_R2 = 0. Ou − 25 + 10 i₁ + 45 = 0. Portanto, i₁ = − 2 A, significando sentido oposto ao previsto.

A LCK no nó M implica i₁ = i₂ + i₅. Portanto, i₅ = − 2 − 5 = − 7 A. E a aplicação no nó N resulta em i₅ + i₄ = i₃. Assim, i₄ = − (− 7) + 3 = 10 A, que é a corrente da fonte S₂.

Potência da fonte S₁ = 25 i₁ = 25 (− 2) = − 50 W. Potência de S₂ = 45 × 10 = 450 W.

Fig 02

Figura 02: neste exemplo, um componente passivo C deve operar com 10 V e 2,5 A.

Os casos (a) e (b) são, respectivamente, opções para fornecer essa condição com fonte de tensão em série com resistência e fonte de corrente em paralelo com resistência. Determinar os valores dessas resistências. 

Em (a), só existe um laço e a corrente nesse laço é única. O valor é i = 2,5 A. Aplicando-se a LTK, − 12 + R_a 2,5 + 10 = 0. Portanto, R_a = 0,8 Ω.

Em (b), a aplicação da LCK no nó acima de R_b resulta em 3 − i_Rb − 2,5 = 0. Portanto, i_Rb = 0,5 A. E o valor da resistência é dado por R_b = 10 / i_Rb = 10 / 0,5 = 20 Ω.